La serie armónica

Una entrada rapidita para hablar de la serie armónica: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_arm%C3%B3nica_(matem%C3%A1tica)

Todo empezó porque un día al mediodía, mientras que comíamos en un restaurante de autoservicio, le conté a mis compañeros el problema del gusano/caracol. Cierto es que me costó trabajo expresarlo correctamente, pero al final lo conseguí:

En una carretera de "chicle" de 1000 metros, hay un caracol supersónico que se mueve a una velocidad de 1m/s. Sin embargo, tan extraordinaria criatura tiene que vérselas con una, también extraordinaria, superficie. Y el problema es precisamente que la carretera, al ser de chicle, se estira cada segundo hasta tener una longitud de 1m más que la longitud anterior.

Es decir, la carretera mide 1000 metros en el instante 0, 1001 en el instante 1, 1002 en el instante 2 etc. La ventaja para el pobre caracol es que se estira todo, tanto lo que tiene por delante como lo que tiene por detrás. En este sentido, el caracol en el instante cero tiene que recorrer 1000 metros, recorre 1 metro en el primer segundo y cuando llega a la línea del metro, la carretera se estira de forma que queda por detrás, 1 metro y un milímetro y por delante 999 metros y 999 milímetros. Es decir, como si hubiera avanzado realmente 1 milímetro. La segunda vez, tiene 2 metros y 2 milímetros (aproximadamente) por detrás y por delante, un pelín menos que antes, pero muy poco menos.

En realidad, hablando en porcentajes, como cada vez recorre 1 metro y cada vez la longitud total es 1000+n metros, en un instante m, el caracol ha recorrido la suma desde n=0 hasta m-1 de 1/(1000+n) por ciento.
Pues bien, esta suma, cuando tiende a infinito, no es sino la serie armónica a la que se le han quitado 1000 términos. Pero como quiera que la serie armónica tiende a infinito, la verdad es que no le apura mucho el hecho de que le quiten 1000 términos y en particular tenemos que llegará un momento (que ciertamente tardará muchísimo) en que el caracol no sólo supere el 100% sino el 1000% y el lo que sea por ciento.

Bueno, creo que mis compañeros no quedaron del todo convencidos; muy probablemente porque yo no me expliqué bien. Pero en cualquier caso, estuvo bien recordar por un momento la que tuve que liar yo en física para demostrar que el caracol sí que llegaba, usando un procedimiento muchísimo más tosco que la serie armónica :-).

Un saludo, Domingo.